Algèbre linéaire Exemples

$A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Développez $(2 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $4 - 4 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.3

Déplacez $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 4 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$ .

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Étape 1.5.5.1.1

Additionnez $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$

Étape 1.5.5.1.2

Additionnez $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$

Étape 1.5.5.2

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.2

Multipliez $- 4 λ$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.3.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Étape 1.5.5.3.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ$

Étape 1.5.5.4

Additionnez $λ^{2}$ et $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Étape 1.5.5.5

Soustrayez $4 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ + 4 - λ^{3}$

Étape 1.5.5.6

Déplacez $4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 4$

Étape 1.5.5.7

Déplacez $- 8 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} - 8 λ + 4$

Étape 1.5.5.8

Remettez dans l’ordre $5 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.7.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.7

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 - 8 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.8

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + 4$

Étape 1.7.1.1.3.9

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 1.7.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4}{λ - 1}$

Étape 1.7.1.1.5

Divisez $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ par $λ - 1$ .

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Étape 1.7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$5 λ^{2}$

$8 λ$

$4$

Étape 1.7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$

Étape 1.7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Étape 1.7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Étape 1.7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$4 λ$

Étape 1.7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 λ^{2} - 4 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$

Étape 1.7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$

Étape 1.7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Étape 1.7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Étape 1.7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Étape 1.7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Étape 1.7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Étape 1.7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 4 λ - 4$

Étape 1.7.1.1.6

Écrivez $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.7.1.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 (λ) - 4) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (2 + 2) λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 2 λ + 2 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 2 λ) + 2 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ - 1) (λ (- λ + 2) - 2 (- λ + 2)) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 2$ .

$(λ - 1) ((- λ + 2) (λ - 2)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 2 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 1.7.4

Définissez $- λ + 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $- λ + 2$ égal à $0$ .

$- λ + 2 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez $- λ + 2 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 2$

Étape 1.7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.7.4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$λ = 2$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$ vraie.

$λ = 1, 2$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.6

Soustrayez $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.7

Soustrayez $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.8

Soustrayez $0$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.9

Soustrayez $1$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{1}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - \frac{1}{8} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{8} z = 0$

$y + \frac{1}{8} z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{8} \\ - \frac{z}{8} \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez $5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$